Solidi di rotazione · Geometria

Che cos'è un solido di rotazione?

Quando una figura piana compie un giro completo (360°) attorno a una retta fissa, detta asse di rotazione, "spazza" lo spazio e genera un solido di rotazione.

figura piana + asse + giro di 360° ⟶ solido

Cambiando la figura oppure l'asse attorno a cui ruota, si ottengono solidi diversi: cono, cilindro, tronco di cono e altri.

💡 In ogni argomento trovi una simulazione: trascina il cursore «rotazione» e guarda la figura piana girare attorno all'asse fino a formare il solido. Poi metti alla prova con i 10 quiz.

📐 La simulazione calcola volumi e superfici con un π molto preciso; nei quiz si usa invece π ≈ 3,14, perciò puoi trovare piccole differenze negli ultimi decimali.

Argomenti

Teoria

🔺 Il cono

Un triangolo rettangolo che ruota di un giro completo attorno a uno dei suoi cateti genera un cono.

cateto–asse → diventa l'altezza h del cono
altro cateto → diventa il raggio r di base
ipotenusa → diventa l'apotema a (il lato) del cono

Poiché il triangolo è rettangolo, vale il teorema di Pitagora tra apotema, raggio e altezza:

a² = r² + h² ⇒ a = √r² + h²

Volume e superfici

V = 13 · π · r² · h

S_laterale = π · r · a

S_base = π · r²

S_totale = π · r · (r + a)

🔁 Se lo stesso triangolo ruota attorno all'altro cateto, raggio e altezza si scambiano: si ottiene un cono diverso (ma con la stessa apotema, perché l'ipotenusa non cambia).

Simulazione

Regola i due cateti e scegli l'asse di rotazione. Trascina «rotazione» per veder ruotare il triangolo e generare il cono.

cateto c₁4 cateto c₂3 asse di rotazione rotazione360°

Solido generato: cono

Teoria

⏳ Il bicono (doppio cono)

Se il triangolo rettangolo ruota attorno alla sua ipotenusa, genera due coni uniti per la base: un solido chiamato bicono (o doppio cono).

ipotenusa i → è l'asse; le due "altezze" dei coni sono le proiezioni dei cateti e la loro somma è i
altezza relativa all'ipotenusa → è il raggio comune r delle due basi
ogni cateto → è l'apotema del cono corrispondente

Il raggio comune si ricava dall'equivalenza delle aree: l'area del triangolo si può scrivere in due modi.

12 · c₁ · c₂ = 12 · i · r ⇒ r = c₁ · c₂i

Volume e superficie

V = 13 · π · r² · i

S = π · r · c₁ + π · r · c₂ = π · r · (c₁ + c₂)

⚠️ Le basi dei due coni coincidono: sono interne al solido, quindi non si contano nella superficie. Restano solo le due superfici laterali.

Simulazione

L'asse è l'ipotenusa. Il vertice con l'angolo retto traccia, ruotando, la base circolare comune dei due coni.

cateto c₁3 cateto c₂4 rotazione360°

Solido generato: bicono

Teoria

🟦 Il cilindro

Un rettangolo che ruota di un giro completo attorno a uno dei suoi lati genera un cilindro.

lato–asse → diventa l'altezza h del cilindro
lato perpendicolare all'asse → diventa il raggio r di base

Il cilindro ha due basi circolari uguali. La sua superficie laterale, "srotolata", è un rettangolo con base 2πr (la circonferenza) e altezza h.

Volume e superfici

V = π · r² · h

S_laterale = 2 · π · r · h

S_base = π · r²

S_totale = 2 · π · r · (r + h)

🔁 Ruotando lo stesso rettangolo attorno all'altro lato, raggio e altezza si scambiano: si ottiene un cilindro diverso, in generale con volume diverso.

Simulazione

Regola i due lati del rettangolo e scegli l'asse. Trascina «rotazione» per generare il cilindro.

lato ℓ₁5 lato ℓ₂3 asse di rotazione rotazione360°

Solido generato: cilindro

Teoria

🪣 Il tronco di cono

Un trapezio rettangolo che ruota di un giro completo attorno al lato perpendicolare alle basi (l'altezza) genera un tronco di cono.

base maggiore → raggio maggiore R
base minore → raggio minore r
altezza (lato ⊥ alle basi) → altezza h del tronco
lato obliquo → apotema a del tronco

L'apotema è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti h e (R − r), quindi per Pitagora:

a = √h² + (R − r)²

Volume e superfici

V = 13 · π · h · (R² + r² + R · r)

S_laterale = π · (R + r) · a

S_totale = π · (R² + r²) + π · (R + r) · a

💡 Il tronco di cono si può anche immaginare come un «cono grande meno cono piccolo»: un cono completo a cui è stata tolta la punta.

Simulazione

Regola le misure del trapezio e trascina «rotazione» per veder generare il tronco di cono.

base maggiore6 base minore3 altezza4 rotazione360°

Solido generato: tronco di cono

Teoria

➕ Solido composto: cilindro + cono

Se il trapezio rettangolo ruota attorno alla base maggiore, si ottiene un solido composto: un cilindro con sopra un cono.

L'altezza (lato ⊥ alle basi) "spazza" un disco e fa da raggio; la base minore genera la parte cilindrica; il lato obliquo, ruotando, genera il cono.

altezza del trapezio → raggio comune r di cilindro e cono
base minore → altezza del cilindro
differenza delle basi (B − b) → altezza del cono

Volume

V = V_cilindro + V_cono

V = π · r² · b + 13 · π · r² · (B − b)

⚠️ Il volume del solido composto si calcola sommando i volumi dei due solidi che lo formano. Attenzione: cilindro e cono hanno lo stesso raggio ma altezze diverse.

Simulazione

Regola le misure del trapezio e trascina «rotazione» per veder generare il cilindro sormontato dal cono.

base maggiore6 base minore3 altezza4 rotazione360°

Solido generato: cilindro + cono

📋 Formulario dei solidi di rotazione

Tutte le formule in un colpo d'occhio. Puoi anche stamparle con il pulsante 🖨️ Stampa teoria in alto.

📐 Legenda: r raggio · h altezza · a apotema · R, r raggi del tronco · i ipotenusa · c₁, c₂ cateti · B, b basi del trapezio. Nei calcoli usa π ≈ 3,14.

Da quale rotazione nasce ogni solido

Triangolo rettangolo attorno a un cateto → Cono
Triangolo rettangolo attorno all'ipotenusa → Bicono (doppio cono)
Rettangolo attorno a un lato → Cilindro
Trapezio rettangolo attorno all'altezza → Tronco di cono
Trapezio rettangolo attorno alla base maggiore → Cilindro + cono

Volumi e superfici

Solido	Volume	Superficie laterale	Superficie totale
Cilindro	π · r² · h	2 · π · r · h	2 · π · r · (r + h)
Cono	13 · π · r² · h	π · r · a	π · r · (r + a)
Tronco di cono	13 · π · h · (R² + r² + R · r)	π · (R + r) · a	π · (R² + r²) + π · (R + r) · a
Bicono	13 · π · r² · i	π · r · (c₁ + c₂)	= sup. laterale (le basi sono interne)
Cilindro + cono	π · r² · b + 13 · π · r² · (B − b)	somma delle superfici dei due solidi

💡 Le formule di area del cerchio (π·r²) e della circonferenza (2·π·r) sono il "mattone" di tutte le altre.

Relazioni utili (teorema di Pitagora)

Cono — l'apotema è l'ipotenusa del triangolo generatore:

a² = r² + h² ⇒ a = √r² + h²

Tronco di cono — l'apotema con cateti h e (R − r):

a = √h² + (R − r)²

Bicono — raggio comune e altezze (dall'ipotenusa i = √c₁² + c₂²):

r = c₁ · c₂i

h₁ + h₂ = i